On considère le nombre complexe `a = 2 +sqrt(2) + isqrt(2) `

1) Calculer le module de `a`

2) Montrer que ` a= 2(1+cos((pi)/4)) +2i sin((pi)/4)`

3) a) en linéarisant `cos^2x ` avec ` x in R ` montrer que ` 1+cos(2x)= 2cos^2x `

b) Montrer que `a = 4cos^2((pi)/8) + 4 i sin((pi)/8)cos((pi)/8)`

c) Montrer que ` 4cos((pi)/8) (cos((pi)/8)+i sin((pi)/8)) ` est une forme trigonométrique de `a`

d) Montrer que `a^4 = (2sqrt(2+sqrt(2)))^4i `

Partie II)

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct `(O, vec(e_1) , vec(e_2))` On considère les points `Omega` et `A` d'affixes respectives `omega= sqrt(2)` et `a = 2+sqrt(2) + isqrt(2) `

Soit `r` la rotation de centre `Omega` et d'angle `(pi)/2 `

1) Montrer que l'affixe `b` de `B` image du point `A` par `R` est `b =2i `

2) Déterminer l'ensemble des points `M` d'affixe `z` tels que `abs(z-2i)= 2 `